Cours 1 : Estimations L^2 de Hörmander et Théorème d’Ohsawa-Takegoshi.
Enseignant : Salomon Sambou
Institution : Université Assane Seck de Ziguinchor
Résumé : Le but de ce cours est d’introduire les concepts fondamentaux de l’Analyse Complexe de plusieurs variables complexes autour du problème de Levi, un sujet au centre du développement de l’Analyse complexe. Un des outils fondamentaux devenus essentiels dans de nombreux domaines de la géométrie complexe est celui de la résolution des équations de Cauchy-Riemann sur des domaines pseudoconvexes de C^n ou plus généralement des variétés complexes ayant des propriétés de convexité holomorphes. On évoquera aussi le fameux théorème d’extension d’Ohsawa-Takegoshi qui joue un rôle important dans de nombreux problèmes. Ce cours va préparer les participants à suivre le cours de S. Boucksom de la deuxième semaine.
Cours 2 : Introduction à la Géométrie Riemannienne et Kählerienne
Enseignant : Masseye Gaye
Institution : Université Cheikh Anta Diop de Dakar
Résumé : Un des problèmes fondamentaux de la Géométrie Riemannienne ou Kählerienne consiste en la recherche de métriques dites ”canonique” comme les courbures scalaires constantes. Ce cours introduira les notions fondamentales de variétés riemanniennes, variétés kähleriennes, fibrés vectoriels, connexion et courbure. Ce sera une préparation au cours de H. Chinh LU sur les équations de Monge-Ampère complexe sur les variétés kähleriennes.
Cours 3 : Introduction à la théorie du Pluripotentiel
Enseignant : Ahmed Zeriahi
Institution : Institut de Mathématiques de Toulouse
Résumé : Ce cours donnera une introduction à la théorie du pluripotentiel qui est le thème central autour duquel s’articule cette école. On introduira les notions de fonctions plurisousharmoniques, de courants positifs fermés, l’opérateur de Monge-Ampère complexe, la notion de capacité permettant de caractériser les ”ensembles négligeables” pour cette théorie. Ces outils seront utilisés dans mon cours de la deuxième semaine pour étudier le problème de Dirichlet pour l’opérateur de Monge-Ampère complexe.
Cours 4 : Le problème de Dirichlet pour l’opérateur de Monge-Ampère complexe.
Enseignant : Ahmed Zeriahi
Institution : Institut de Mathématiques de Toulouse
Résumé : Le but de ce cours est d'étudier l’existence et l'unicité des solutions du problème de Dirichlet pour l'opérateur de Monge-Ampère complexe. C’est un opérateur non linéaire du second ordre pour lequel il est nécessaire de développer des outils spécifiques pour le résoudre tout en s’inspirant de son analogue pour les opérateurs elliptiques linéaires du second ordre comme le Lapalcien. On s’intéressera également aux problèmes de régularité et de stabilité des solutions. C’est là où la théorie du Pluripotentiel étudié la semaine précédente trouvera toute sa justification
Cours 5 : Estimées uniformes pour les équations de Monge-Ampère.
Enseignant : H. Chinh Lu
Institution : Université d'Angers
Résumé : Ce cours a pour objectif de développer des méthodes pluripotentielles pour démonter les estimées a priori uniforme pour les solutions des équations de Monge-Ampère complexes sur des domaines de C^n ou des variétés kähleriennes compactes. Rappelons que ces estimées jouent un rôle central dans la solution de la célèbre conjecture de Calabi démontrée par S.T. Yau en 1978 ainsi que le problème de l’existence de métriques de Kâhler-Einstein obtenus indépendamment par T. Aubin et S.T. Yau. Ces méthodes ont permis d'étendre les résultat de Yau et Aubin à des situations singulières devenues importantes dans la calssification des variétés projectives complexes en lien avec le programme du Modèle Minimal (MMP) en Géométrie Algébrique complexe.
Cours 6 : Singularités des fonctions plurisousharmoniques
Enseignant : Sébastien Boucksom
Institution : CNRS
Résumé : Les fonctions plurisousharmoniques jouent un rôle central en Analyse complexe, aussi bien en Théorie du Pluripotentiel que dans l'étude du problème de Levi à travers les estimées L^2 de Hôrmander. Elles interviennent également comme les potentiels de métriques kähleriennes ou encore comme potentiel des formes de courbures des fibrés en droites sur les variétés complexes. L’existence de métriques canoniques singulières sur les variétés kähleriennes conduisent à l'étude des singularités des fonctions plurisousharmoniques. Le but de ce cours est de donner les éléments nécessaires pour résoudre la conjecture d’ouverture de Demailly-Kollar concernant l’intégrabilité exponentielle des fonctions plurisouharmoniques.
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