Séminaire
Séminaire hebdomadaire du LMA. Responsable Pr. Salomon Sambou
Anneaux divisoriellement arithmétiques ou anneaux divisoriels
Seth Kang-Rang KOUMLA, Doctorant LMA (Université Assane SECK)
Equipe :
GeoATNombre
Horaire :
samedi 10 février 2024, 08h 00 - 10h 00
Lieu : Laboratoire Mathématiques et Applications
Résumé : La théorie des diviseurs (dans des anneaux convenables, essentiellement ce que nous appelons aujourd'hui des anneaux de Krull) a été élaborée dans le contexte purement multiplicatif, à savoir l'étude des monoïdes avec une théorie des diviseurs, par Arnold en 1926.
Clifford (1938) dans sa thèse, généralise les résultats d'Arnold dans le cadre des monoïdes plus généraux.
La théorie moderne des anneaux à diviseurs en mathématiques classiques est due principalement à Jaffard (1960), Aubert (1983), et Lucius (1998). Ces auteurs ont généralisé cette théorie pour les anneaux de Krull en se libérant de l'hypothèse trop contraignante qui réclame une décomposition unique en facteurs premiers. C'est la même démarche que celle qui remplace les anneaux de Dedekind par les domaines de Prüfer et les anneaux factoriels par les anneaux intègres à pgcd.
Un développement récent abstrait des aspects purement multiplicatifs de cette théorie a été introduit en 2011 par Halter-Koch.
En pratique, les anneaux à diviseurs sont au départ des anneaux à pgcd intègres ou des domaines de Prüfer. Ensuite, on démontre que la classe des anneaux à diviseurs est stable par extensions polynômiales ou par extensions entières et intégralement closes.
Une approche constructive de la théorie des anneaux à diviseurs et anneaux de Krull pour le cas intègre a été développée par T. Coquand et H. Lombardi en 2016. Elle se situe dans un cadre plus général que le livre de Edouard (Divisor Theory. 1990).
Notre travail de thèse consiste à généraliser au cas non intègre (cas des anneaux commutatifs arbitraires) la théorie des anneaux à diviseurs connus sous le nom des anneaux pseudo-prüferien dans les exercices de Bourbaki et dans la littérature anglaise on les appelle Prüfer-v-multiplication domains.
Pour cette partie de l'exposé, notre but est de démontrer l'un des principaux résultats pour ces types d'anneaux: exprimer les idéaux divisoriellement inversibles comme idéaux divisoriellement principaux dans un anneau arbitraire.
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